一、Burgers方程的非古典势对称群及显式解（论文文献综述）
曹志杰[1]（2014）在《具有变系数的二阶非线性发展方程的群分类、守恒律和精确解研究》文中指出对自然问题、社会问题的数学建模,往往归结于建立相应变量的微分方程,而求解这些方程,将有助于我们窥探到相关问题的实质.现代物理、工程科学、生物数学等学科涉及的数学模型往往是非线性微分方程（组）.这样,求解微分方程（组）,尤其是非线性微分方程（组）,在某种意义上,是人们认识自然界和人类社会的重要手段之一法国天才数学家埃瓦里斯特.伽罗华（Galois）认识到一个多项式方程的代数解联系着与该多项式的根有关的一个置换群的结构,这个置换群称为多项式的伽罗华群；与之相类,挪威伟大数学家李（Sophus Lie）观察到用于求解那些特定的、貌似彼此间毫无关联的微分方程类型,如可分离变量型,齐次型或恰当方程型的方法,实际上都是一个基于在某对称连续群作用下使得微分方程保持不变的一般积分过程的特殊情况,这个对称连续群现在称为Lie群.运用Lie群方法可求得微分方程系统的对称,进而利用对称对原方程降阶,很大程度上简化了问题的复杂程度.这种方法能处理的除了常系数的非线性系统,也包括具有可变系数的方程类别.Lie群理论的核心工具是无穷小生成元及相应的对称.1918年,杰出的德裔女科学家埃米.诺特（E.Noether）建立了某些泛函的非平凡广义对称与非平凡守恒律之间的一一对应关系.2007年,微分方程领域资深学者N.H.Ibragimov证明了任何微分方程系统,只要所含方程个数与其中因变量个数相同,则它的任意一个Lie点对称,Lie-Backlund对称,或非局部对称都对应一个守恒律.不过,这个对应的守恒律中会包含一些”没有物理意义”的变元一因而也称之为非局部守恒律.为了得到局部守恒律,人们需要考虑方程的自伴性.若方程具有某一自伴性,则那些”没有物理意义”的变元可以被除去,从而得到局部守恒律.不然,就是研究对象的局部守恒律不存在.尽管如此,那些非局部的守恒律形式仍旧反映了原方程的对称性质.利用对称对方程进行降阶有助于方程的求解,有时,直接依靠方程的非平凡的局部守恒律也可得到方程的一些特解.本文研究了三类具有可变系数的标量偏微分方程,具体研究内容和章节安排如下.第一章先对研究背景,一些基本概念及相关研究作了概述；然后叙述了对称和守恒律的一般关联；本章末尾,择要介绍了本文的主要工作和创新点.第二章主要介绍了Ibragimov的由微分方程的对称求得其守恒律的理论和有关的一些算法.第三章我们研究一个具有可变系数为自变量t的函数的非线性反应-对流-扩散系统,先求得它的Lie点对称,并确定了该方程可能的非线性自伴形式.利用由Ibragimov证明的关于微分方程守恒律的一般定理,对前面求得的Lie点对称借助形式拉格朗日算子逐个求得了扩展系统一原方程和它的自伴方程的联立系统一的守恒律.特别地,对于具有非线性自伴性的那些类别,我们求得了每个类别自身的守恒律.最后基于求偏微分方程特解的守恒律方法,利用已求得的三个局部非平凡的守恒律,我们得到了系统相应形式的一些特解.在第四章我们考虑一个空间依赖的反应-扩散系统,即具有可变系数b（x）的一类二阶反应-扩散方程.首先,在寻找方程的Lie点对称的同时,我们将它分作三类.然后,由于方程不具备任何自伴性,对每一个求得的Lie点对称,我们构造了联立系统一方程与它的自伴一的守恒律.对原方程而言,它们是非局部守恒律.我们证明,方程的局部守恒律是不存在的.另外,我们还构造了方程的一些精确解.第五章讨论了另外一个具有可变系数的反应-扩散方程.在求解Lie群的确定方程组时,我们依对可变系数的限制将方程分作三类.接下来,针对所求得的对称,我们考虑了每一类方程的守恒律.在本章末尾,我们构造了方程的一些精确解.在第六章里,我们对整篇论文的工作进行总结,并提出了有待进一步研究的问题.
冯玮[2]（2012）在《非线性偏微分方程的群叶状结构和泛函变量分离》文中认为非线性偏微分方程已经成为现代数学的一个重要分支,被用来描述力学,控制过程,生态与经济系统,化工循环系统及流行病学等领域的问题.这使得构造非线性偏微分方程的精确解成为认识和理解非线性现象的基石.本文分别讨论了三类非线性偏微分方程的群叶状结构和泛函变量分离问题,并且构造了三类方程的显式精确解.本文的最后,利用李对称群理论研究了一类非线性波方程的群不变解.这些解对于方程的定性分析起到了重要作用.主要工作如下：1.运用两种对称约化方法构造了n维非线性Schrodinger方程iut=△u+k|u|pu,p≠0,k=const.,x∈Rn的径向群不变解.通过讨论n维非线性Schrodinger方程的群叶状结构,并采用特殊拟设构造了n维非线性Schrodinger方程的径向精确解.2.运用李对称群理论给出了非齐次扩散方程xput=[xqunux]x, n≠0的显式群不变解.利用条件Lie-Backlund对称理论讨论了一般的非齐次扩散方程xput=[xqD（u）ux]x允许泛函变量分离解的分类问题,并得到了相应的泛函变量分离解.3.运用条件Lie-Backlund对称讨论了带源拟线性扩散方程ut=[D（u）ux]x+Q（u）的广义泛函变量分离解的构造问题.4.根据李对称群理论,详细讨论了非线性波方程utt=▽.（（c+aup/p）▽u）+（6-a/p）up△u的约化及其径向群不变解的构造.
陆斌[3]（2010）在《非线性微分方程求解中的构造性方法与符号计算》文中指出本文以数学机械化思想和AC=BD模式为指导,以计算机代数系统软件为工具,研究了孤立子理论中若干重要的孤子方程的精确求解问题,微分差分方程的对称和孤子方程的的代数几何求解.第一章介绍数学机械化与计算机代数、孤立子理论,非线性偏微分方程（组）的精确求解以及孤子可积系统与代数几何的历史发展和研究现状,同时介绍了国内外学者在这些领域所取得的研究成果.并介绍了本文的选题及主要工作.第二章介绍AC=BD理论的基本内容和思想以及在这一理论框架下的微分方程精确解的构造性问题.第三章基于将非线性发展方程精确求解代数化、算法化、机械化的指导思想和AC=BD理论,提出了新的射影方程法,获得了非线性微分方程组的丰富的Jacobi椭圆函数解,并推广了首次积分法,用于非线性微分方程组的精确求解.第四章提出了构造若干孤子方程的亏格为2的超椭圆函数解的直接法,并将这一方法与孤子方程的对称变换群相结合获得了方程新的形式的解,另外将直接法应用于（2+1）维微分差分方程,获得了方程新的对称.第五章将Hirota双线性方法和Riemann theta函数相结合,获得了2+1维格、3+1维JM方程以及广义变系数fKdV方程的多亏格的Riemann theta函数解,并从一个2阶矩阵谱问题出发,由零曲率表示导出了孤子方程族,研究了其中广义的耦合mKdV方程和Schodinger方程的拟周期解.
冯阳[4]（2010）在《非线性微分方程与超离散方程的若干求解和可积性问题研究》文中认为本文以数学机械化思想和AC=BD理论为指导,以构造性变换及符号计算软件为辅助工具,从代数曲线和Riemann theta函数的角度来研究非线性偏微分方程,离散方程的精确解,超椭圆函数解,拟周期解；超离散方程的Lax可积性和热带Riemann theta函数解等相关问题.第一章介绍数学机械化、孤立子理论、可积性与代数几何解、超离散方程的求解与可积,几种求解数学物理方程的构造性方法的历史发展和研究现状,并介绍本文的选题及主要工作.第二章首先介绍了张鸿庆教授提出的数学机械化中的AC=BD模式和应用,其次在C-D对的理论框架下,利用微分伪带余除法,构造性给出了求方程间的变换的方法.并通过研究一种类型的算子D,给出Dv=0更多形式的解,从而推广了一类辅助方程展开法,给出了一类非线性发展方程更多形式的精确解.第三章基于超椭圆函数和代数曲线的相关知识,通过亏格为2和3的超椭圆函数所满足的等式关系,利用构造性方法求解非线性方程的超椭圆函数解,得到了几类非线性发展方程的2亏格和3亏格的超椭圆函数解.第四章首先基于具有有理特征的Riemann theta函数,推广了双线性和Riemann theta函数相结合的方法,给出了一类具有两个或两个以上因变量非线性方程（组）的拟周期解；并将这一方法应用到一类微分差分方程中.其次,利用四类特殊的具有有理特征Riemann theta函数所满足的恒等式关系,运用直接构造性方法,给出了两个离散方程的拟周期解.第五章首先运用超离散化方法给出晶格修正的KdV方程的超离散方程,并通过协调条件证明了超离散方程的Lax可积.其次运用热带化方法,给出约化的非自治超离散Kadomtsev-Petviashvili方程（rndKP）的热带谱曲线,并利用热带形式下的Fay三度割线恒等式给出其热带Riemann theta函数形式的解.
白银,郑丽霞,郭华[5]（2010）在《一类（2+1）维非线性扩散方程的对称及不变解》文中研究表明本文首先讨论了一类（2+1）维非线性扩散方程的一般形式并对其进行对称分类,然后利用对称约化得到了（2+1）维非线性扩散方程相应于这些单参数不变群的群不变解.
郭华,郑丽霞,白银[6]（2009）在《几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解》文中研究说明研究了一些非线性偏微分方程的非古典势对称和非古典对称,得到了某些方程的新的势对称和新的对称,同时也得到了其伴随系统的新的对称,并求出了一些相似解.这些解对进一步研究这些非线性偏微分方程所描述的物理现象具有广泛的应用价值.
张晓岭[7]（2009）在《微分方程的精确解、群与群不变解的分类问题》文中研究说明本文以数学机械化思想和AC=BD模式为指导,研究具有任意阶非线性项的非线性偏微分方程的精确求解,微分差分方程的群分类和超对称方程的群不变解的分类问题.第一章介绍数学机械化、孤立子理论、数学物理方程的精确求解、对称分析、群分类、超对称和超对称方程的历史发展和研究现状,并介绍本文的选题及主要工作.第二章介绍微分方程变换的机械化构造的AC=BD理论和C-D对理论的基本内容和思想.第三章基于将非线性发展方程精确求解代数化、算法化、机械化的指导思想和AC=BD理论,改进广义Riccati方程有理展开法,并推广Sub-ODE方法,进而给出带有任意阶非线性项的非线性发展方程更多的精确解.第四章利用Zhdanov和Lahno给出的求解偏微分方程群分类的方法研究非线性微分差分方程（?）n=Fn(t,un-1,un,un+1)在李代数下不变的群分类.第五章给出超对称二玻色子方程的李超代数的伴随表示关系及其在这种关系下一维子代数的共轭类,进一步计算群不变解的初步分类,并得到超对称二玻色子方程的指数函数解、三角函数解和有理解.
刘汉泽[8]（2009）在《基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究》文中提出偏微分方程又称数学物理方程,它来源于物理学、力学等自然科学及工程技术中所提出并建立的数学模型。早期的偏微分方程有根据牛顿引力理论推导出的描述引力势的拉普拉斯（Laplace）方程和泊松（Poisson）方程,还有描述波的传播的波动方程（wave equation）,描述传热和扩散现象的热传导方程（heat equation）等,这些都是古典的偏微分方程。这些方程在偏微分方程理论的发展中发挥了重要的作用,时至今日,它们仍然是偏微分方程的基础和必学内容之一。自19世纪开始,随着工业革命的兴起和科学技术的发展,相继出现了大量新的偏微分方程,其中最基本的有描述电磁场变化的麦克斯韦方程（组）,描述微观粒子的薛定谔方程,以及爱因斯坦方程、杨-米尔斯方程、反应扩散方程等等。随着现代科学和技术的进步,还将会不断涌现出新的越来越多的偏微分方程,尤其是非线性的偏微分方程或方程组。其中,非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型,也是非线性数学物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一。通过对非线性波方程的求解和定性分析的研究,有助于人们弄清系统在非线性作用下的运动变化规律,合理解释相关的自然现象,更加深刻地描述系统的本质特征,极大地推动相关学科如物理学、力学、应用数学以及工程技术的发展。本文以李（S.Lie）对称分析为基础和工具,综合运用动力系统的分支理论与方法、潘勒维尔（Painleve）分析、幂级数法（含推广的幂级数法）、待定系数法以及一些特殊的技巧与方法,研究偏微分方程的精确解及其相关的方程与解的性质。具体而言,即首先运用李对称分析得到方程的向量场或对称,然后利用相似约化将所研究的（非线性）偏微分方程化为常微分方程。这一步对方程而言可以说实现了实质性的转化,即把一个复杂的偏微分方程,包括各种非线性的、变系数的偏微分方程转化为一个常微分方程。接下来的工作就是研究这个常微分方程的解,求出了常微分方程的解,也就相应地得到了偏微分方程的解。这就是利用对称分析研究偏微分方程精确解的基本思路。当然,对称分析的作用远不止此,它与系统的可积性的研究还有着密切的关系,对称是系统本质属性的一种描述和刻画,它在偏微分方程与可积系统的研究中有着重要的意义与作用。这些我们将在研究偏微分方程精确解的同时一并加以介绍。至于如何研究约化得到的常微分方程,则主要涉及常微分方程与动力系统的理论与方法、幂级数法以及一些特殊的技巧与方法。本文的主要内容如下：第一章绪论。本章介绍了非线性科学的主要内容以及发展现状,综述了偏微分方程,尤其是非线性波方程的发展历史、研究现状、主要研究方法以及取得的主要成果。其中重点介绍了偏微分方程研究的主要方法,特别是对称分析在研究偏微分方程中的意义与作用。概括而言,这些方法各有特点,也都有各自的适用范围,都在特定的时期、特定的条件和各自的范围内发挥了应有的作用。有的方法可以说长盛不衰,历久弥新,至今还有强大的生命力,在偏微分方程的研究中仍然发挥着重要的作用。当然,任何一种方法都不是万能的,不会也不可能指望用一种方法解决所有的问题。本章的出发点是对各种主要的方法加以总结回顾,目的不是评判哪种方法的优劣,而是通过比较和总结,更好地继承和发扬其中蕴含的优秀的思想方法,从过去经典的思想与方法中汲取营养,更好地面向未来,进一步更深入地开展对现代偏微分方程及相关非线性科学的研究。第二章理论准备。在这一章,列举了本文所涉及的一些相关知识,如李群与李代数、对称与向量场、向量场的延拓、Painleve分析简介、动力系统的分支理论与方法以及雅可比（Jacobi）椭圆函数等。限于篇幅,有些内容只列出主要概念与结论,详细内容可查阅后面的相关参考文献,此处不展开叙述。单列本章的目的是考虑到李群与对称分析的相关理论与知识比较多,通过本章,对有关的理论知识有所了解,便于后面的具体运用。第三章基于李对称分析,研究了一般的Burgers’方程。该方程是一个既有非线性项又有二阶偏导项的非线性波方程,在理论和实践中有广泛的应用价值。它在一定条件下存在不同类型的孤波解,如冲击（震荡）波、稀疏波等。在流体力学、空气动力学的许多波动问题的研究中都要用到这个方程。例如在流体力学模型方程中,有线性Burgers’方程ut+aux=μuxx和非线性Burgers’方程ut+[f（u）]x=μuxx。当f（u）=1/2u2时,后者即为ut+uux=μuxx。在一定的初、边值条件下,可以得到这两类Burgers’方程的精确解,从而了解系统相应的流体力学性质。另外,Burgers’方程和许多重要的数学物理方程有着密切的联系,在非线性科学、流体力学以及工程技术中起着重要的基础性作用。在对称分析的基础上,首先求出了方程的群不变解以及任意次的迭代解。然后,利用对称约化将原方程化为各种形式的常微分方程,进而求出方程的精确解。其中应用了幂级数法（Power series method）,得到了非线性、非自治的常微分方程严格的幂级数解,从而也就得到了相应的Burgers’方程的精确解,其中包含了不少新的显式精确解。第四章研究推广的mKdV方程,众所周知,KdV方程是非常着名的浅水波方程,它起源于对水波问题的研究,KdV型方程可以描述各种浅水波的运动,在流体力学中有着广泛的应用。特别地,对于修正的KdV型方程,最近的研究发现可用于描述宇宙环境中超新星周围以及土星环的尘埃离子的波动规律,对于天体力学和大气物理的研究有着重要的意义。首先,通过对称分析得到了它的向量场。然后,由一般到特殊地得到了一些特殊而经典的KdV、mKdV方程的向量场。接下来,通过对称约化将推广的mKdV方程化为常微分方程,为下一步求解作准备。本章的一个亮点是运用了动力系统的分支理论与方法,详细全面地得到了推广的mKdV方程的显式精确解,包括幂级数解,同时还研究了系统的动力学性质。第五章研究了一类短脉冲方程的精确解。短脉冲方程也是一类非常重要的非线性波方程,可以描述一些比较特殊的波。深入研究这类方程及其各种孤波解,对于了解一些特殊的波动问题具有重要意义。同时,该方程是一个重要的非线性数学物理方程,它在工程技术以及物理学、力学的许多领域都有重要应用。此方程不同于一般的非线性演化型方程,而是一个混合型的偏微分方程,这给对称分析带来了一定的困难。本章分别运用延拓法与待定系数法,得到了该方程的所有对称。其次,本章的另一特色是在运用动力系统的分支理论与方法研究方程的精确解时,引入了参数表示法,从而圆满地解决了解的显式表示问题。本章获得的这类短脉冲方程的精确解,都是用通常的方法难以得到的。第六章研究了一类变系数债券方程。变系数偏微分方程最初主要来源于数学物理问题及大量的工程技术问题,但是,随着社会的进步和现代科学技术的不断发展,在各种经济社会领域、生物化学与环保领域、通讯信息与金融证券等领域,由于实际的需要也提出了越来越多的偏微分方程,这些方程一般形式复杂,且常常是变系数的。本章研究的变系数方程在金融数学与金融工程中经常用到,尤其是在期权定价问题的研究中,这类偏微分方程发挥着日益重要的作用。偏微分方程理论与现代经济、金融研究相结合,正成为一种重要的发展趋势。首先,对两个具体的变系数债券方程进行了对称分析,分别得出了它们的向量场。然后,又分别求出了它们的单参数群与群不变解。第三,利用相似变换分别将它们约化为常微分方程。第四,进一步求出它们的精确解。本章在内容上与前几章的主要不同之处在于,一是对称分析,由于所研究的方程是变系数的,因此,对称分析要比常系数方程复杂得多。二是在求精确解时除了幂级数法之外,还用了待定系数法等一些特殊方法,从而得到了方程的显式精确解,收到了较好的效果。三是在本章最后,我们还就一般形式的变系数债券方程进行了讨论,得出了它的对称及相应的精确解。第七章研究了三个非线性演化方程。这类方程在非线性科学与工程技术中有着重要的意义与作用,是许多波动问题和力学问题的重要理论模型,在生物数学等领域也有着重要的应用。首先运用Painleve分析得到了它们的Painleve性质,以及相应的Backlund变换、截断展开式等。然后再通过对称分析,分别得到了它们的对称,并通过比较分析了Painleve分析与对称分析的异同。接着研究它们的精确解,除了基于对称分析的精确解,我们还得到了方程的基于Painleve截断展开的精确解。这些解的获得,是单独用任何一种方法所不可能得到的,这也说明了二者结合的意义和作用。另外,通过本章的研究可以发现,对于有些即使是不可积的方程,我们仍然可以利用对称分析与Painleve分析研究它们的精确解。我们知道,在可积系统的研究中,Painleve分析的主要作用是判断系统的可积性,但通过本章可以发现它还可以用于方程求解的研究。对称分析更是如此,无论是否可积,都可以通过对称分析研究方程的精确解。总之,本文研究的对象是偏微分方程,包括各种非线性的、变系数的方程。主要目的是求出方程的解,尤其是显式的精确解。所以,本文所采用的方法与工具与一般孤子与可积系统的研究有所不同,结果也不一样,可以说各有侧重。限于论文的主题,尽管系统的对称与可积性如守恒律（CL）、Backlund变换等有着密切的联系,但对系统的可积性不作过多的讨论,目的是使论文主题更突出。另外,这些方程都是重要的数学物理方程,深入研究这些方程的解及其相关性质,如Painleve性质、可积性以及各种形式的解,尤其是各种显式精确解,对于了解系统所描述的具体问题的性质与规律,有着重要的意义与作用。最后,在总结与展望中,首先概述了本文所获得的主要研究成果；然后,总结归纳了本文的主要创新点；最后,提出了围绕偏微分方程精确解的研究有待于进一步研究与思考的方向和问题。
李丹[9]（2008）在《非古典对称法及其在偏微分方程中的应用》文中认为本文研究了非古典对称方法在求解偏微分方程中的应用。非古典对称方法在经典的李对称方法的基础上添加了初始方程的表面不变条件,从而既简化了计算,又有助于得到更多的对称及群不变解。第二章对偏微分方程及其对称的一些基础知识做了介绍。主要介绍了向量场的定义、代数方程的不变群、微分方程的不变群、延拓、不变群的生成元、微分方程的对称等概念,这些知识为下面的研究打下了一定的基础。第三章首先对演化方程的对称作了详细介绍,其次,利用李群对称的待定系数法,求出了Rosenau-Hyman（RH）方程的对称。第四章研究了Boussinesq-Burgers方程的非古典对称和群不解。在许多文献中,均将非古典对称法应用于一维偏微分方程,本章将此方法进行了拓展并将其应用于二维偏微分方程组,从而,得到Boussinesq-Burgers方程的非古典对称和群不变解。第五章研究了二维热传导方程的非古典对称及其相容性。相容性同样多用于一维偏微分方程,本章除了求得热传导方程的非古典对称以外,还将相容性拓展到了二维偏微分方程,以二维热传导方程为例,证明了相容性对于二维偏微分方程也是可行的。
张红霞,郑丽霞,杜永胜[10]（2008）在《Benney方程的势对称和不变解》文中认为利用微分形式的吴方法计算了Benney方程的势对称及其不变解.由于Benney方程中包含不稳定项和耗散项,使得直接求其不变解较为困难,利用吴-微分特征列算法可大大降低其中确定方程组的计算难度.本文全面讨论了Benney方程不同系数情况下的对称,并且得到了新的势对称,同时利用这些对称求得了相应的不变解,这些解对进一步研究Benney方程所描述的物理现象具有广泛的应用价值.文章表明,对于守恒形式的偏微分方程,可通过其辅助系统求得的势对称来构造其不变解.
二、Burgers方程的非古典势对称群及显式解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Burgers方程的非古典势对称群及显式解（论文提纲范文）
（1）具有变系数的二阶非线性发展方程的群分类、守恒律和精确解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 前言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 微分方程的对称 |
| 1.3 守恒律的概念和意义 |
| 1.3.1 守恒律的数学定义 |
| 1.3.2 微分方程系统守恒律的物理渊源 |
| 1.3.3 几个着名的非线性方程的基本守恒律 |
| 1.4 微分方程的对称和守恒律的关系 |
| 1.5 研究现状 |
| 1.6 本文主要工作和创新点 |
| 1.6.1 本文主要工作 |
| 1.6.2 创新点 |
| 第二章 Ibragimov理论与有关算法 |
| 2.1 求Lie点对称的算法 |
| 2.2 Ibragimov理论 |
| 2.3 利用对称求微分方程群不变解的步骤 |
| 2.4 一种利用守恒律求解微分方程的方法 |
| 2.5 其它要用到的定理和方法 |
| 2.5.1 关于一般二阶演化方程的局部守恒律阶数的一个定理 |
| 2.5.2 求解u_t=au_(xx)+b_0+b_1u+b_2u~2+b_3u~3的一个公式 |
| 第三章 具有可变系数k(t)的一种非线性反应-对流-扩散方程的群分类、守恒律和精确解 |
| 3.1 研究对象简介 |
| 3.2 方程的Lie点对称和群分类 |
| 3.3 自伴性 |
| 3.4 守恒律 |
| 3.4.1 运用Ibragimov方法构造守恒律 |
| 3.4.2 运用定理2.7直接构造守恒律 |
| 3.4.3 上述二法构造守恒律的过程和结果对比分析 |
| 3.5 精确解 |
| 第四章 反应项为Logistic模式且带有可变系数的反应-扩散方程的群分类、守恒律和精确解 |
| 4.1 研究对象简介 |
| 4.2 方程的Lie点对称和群分类 |
| 4.3 自伴性 |
| 4.4 守恒律 |
| 4.5 精确解 |
| 4.5.1 方程(4.2.29)的尺度不变解(Scale-invariant solution) |
| 4.5.2 方程(4.2.31)的行波解(Traveling wave solution) |
| 第五章 考虑了Allee效应且带有可变系数的反应-扩散方程的群分类、守恒律和精确解 |
| 5.1 研究对象简介 |
| 5.2 方程的Lie点对称和群分类 |
| 5.3 自伴性 |
| 5.4 守恒律 |
| 5.5 精确解 |
| 5.5.1 方程(5.2.32)的尺度不变解 |
| 5.5.2 方程(5.2.34)的行波解 |
| 5.5.3 依第2.5.2节的公式求得的方程(5.2.34)的精确解 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A (攻读博士期间发表的论文情况) |
| 附录B (攻读博士期间参与的科研项目) |
（2）非线性偏微分方程的群叶状结构和泛函变量分离（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景 |
| §1.2 研究内容 |
| 第二章 非线性Schr(o|¨)dinger方程的群叶状结构 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 方程(2.8)的对称群及群不变解 |
| §2.2.1 方程(2.8)的对称群及其约化方程 |
| §2.2.2 方程(2.8)的对称约化及群不变解 |
| §2.2.3 方程(2.8)的另一对称约化方法及群不变解 |
| §2.3 方程(2.8)的群叶状结构及其精确解 |
| §2.3.1 方程(2.8)的群叶状结构 |
| §2.3.2 方程(2.8)的精确解 |
| 第三章 非齐次扩散方程的泛函变量分离 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 方程(3.3)的对称群及群不变解 |
| §3.2.1 方程(3.3)的对称群 |
| §3.2.2 方程(3.3)的对称群分析 |
| §3.2.3 方程(3.3)的对称约化及群不变解 |
| §3.3 方程(3.2)的泛函变量分离 |
| §3.3.1 允许泛函变量分离解的方程(3.2)的分类 |
| §3.3.2 方程(3.2)和(3.35)的精确解 |
| 第四章 带源拟线性扩散方程的广义泛函变量分离 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 允许广义泛函变量分离解的方程(4.6)的分类 |
| §4.3 方程(4.6)和方程(4.4)的精确解 |
| 第五章 非线性波方程的群不变解 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 方程(5.3)的对称群 |
| §5.3 方程(5.3)的对称群分析 |
| §5.4 方程(5.3)的群不变解 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（3）非线性微分方程求解中的构造性方法与符号计算（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 数学机械化与计算机代数 |
| 1.2 孤立子产生的历史背景和发展状况 |
| 1.3 非线性偏微分方程(组)精确求解的发展状况 |
| 1.4 孤子可积系统与代数几何 |
| 1.5 选题及主要工作 |
| 2 AC=BD理论和微分方程(组)的精确解 |
| 2.1 AC=BD理论及基本应用 |
| 2.2 Cramer法则在偏微分方程组求解中的应用 |
| 2.3 构造C-D对的若干方法 |
| 3 非线性偏微分方程(组)的精确解算法 |
| 3.1 射影方程展开法及其应用 |
| 3.2 首次积分法与非线性微分方程组的行波解 |
| 4 非线性微分方程的对称和精确解 |
| 4.1 对称群法与微分方程的超椭圆(?)函数解 |
| 4.2 直接法和(2+1)维微分-差分方程的对称 |
| 5 非线性微分方程的周期和拟周期解 |
| 5.1 Hirota双线性算子和Riemann-theta函数 |
| 5.2 线性和孤子方程的Riemann theta函数解 |
| 5.3 变量分离与孤子方程的拟周期解 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 读博期间发表、完成论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（4）非线性微分方程与超离散方程的若干求解和可积性问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 数学机械化与计算机代数 |
| 1.2 孤立子研究的发展概况 |
| 1.3 非线性发展方程的可积性研究与代数几何解 |
| 1.4 非线性发展方程(组)的构造性求解 |
| 1.5 孤子元胞自动机和超离散方程研究的历史发展和现状 |
| 1.6 选题及主要工作 |
| 2 AC=BD模式与非线性偏微分方程(组)的精确解 |
| 2.1 AC=BD模式概述及应用 |
| 2.2 构造C-D对的若干方法 |
| 2.3 C-D对理论与非线性发展方程求解 |
| 3 超椭圆函数与非线性偏微分方程求解 |
| 3.1 超椭圆函数概述 |
| 3.2 基于超椭圆函数的直接方法及其应用Ⅰ:几类(2+1)维非线性方程的 2亏格超椭圆函数解 |
| 3.3 基于超椭圆函数的直接方法及其应用Ⅱ:(2+1)维和(3+1)维KP方程的三亏格超椭圆函数解 |
| 4 有理特征Riemann Theta函数和非线性方程求解 |
| 4.1 (2+1)维Sinh-Gordon方程有理特征Riemann Theta函数解 |
| 4.2 微分差分KdV方程的拟周期解 |
| 4.3 直接法求离散方程的拟周期解 |
| 5 超离散方程的Lax可积与热带Riemann theta函数解 |
| 5.1 孤子元胞自动机与超离散方程 |
| 5.2 超离散mKdV方程的Lax可积性 |
| 5.3 超离散KP方程的热带Riemann theta函数解 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 读博期间发表、完成论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（5）一类（2+1）维非线性扩散方程的对称及不变解（论文提纲范文）
| 0 引 言 |
| 1 对称群分析 |
| 2 不变解 |
| 3结论 |
（6）几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解（论文提纲范文）
| 引言 |
| 1 Kdv-Burgers方程 |
| (1) ξx=τx=0, 系统 (7) 的确定方程组变为 |
| 1) 将V1向方程 (8) 进行投影, 可以得到特征方程 |
| 2) 同理可得V2对应的不变解 |
| (2) τ=1, 得到了伴随系统 (7) 的一个非古典对称 |
| 2 一个非齐次非线性扩散方程对于一般的非齐次非线性扩散方程 |
| 1) 将V4向方程 (13) 投影, 得到特征方程 |
| 2) 同理得到了V5对应的三个特解 |
| 3 方程kt=k2 (kθθ+k) 为方便起见, 我们考虑方程 |
| 4 结论及展望 |
（7）微分方程的精确解、群与群不变解的分类问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 绪论 |
| 1.1 数学机械化 |
| 1.2 孤立子理论 |
| 1.3 数学物理方程的精确求解 |
| 1.4 微分方程的对称理论和群分类 |
| 1.5 超对称和超对称方程 |
| 1.6 选题及主要工作 |
| 2 非线性方程(组)的精确解与AC=BD理论 |
| 2.1 AC=BD理论概述及应用 |
| 2.2 构造C-D对的若干方法 |
| 3 具有任意阶非线性项的非线性偏微分方程(组)的精确解算法 |
| 3.1 广义Riccati方程有理展开法的改进及其应用 |
| 3.2 Sub-ODE方法的改进及其应用 |
| 4 非线性微分差分方程的群分类 |
| 4.1 背景简介 |
| 4.2 群分类方法 |
| 4.3 分类算法涉及的李代数结构 |
| 4.4 分类结果 |
| 5 超对称方程的群不变解分类 |
| 5.1 背景简介 |
| 5.2 对称和子代数分类 |
| 5.3 超对称方程的群不变解 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 读博期间发表、完成论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（8）基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性科学研究的基本概况 |
| 1.2 孤立波与孤立子 |
| 1.3 偏微分方程求解方法概述 |
| 1.3.1 付里叶(Fourier)变换和拉普拉斯(Laplace)变换法 |
| 1.3.2 贝克隆(Backlund)变换和达布(Darboux)变换法 |
| 1.3.3 反散射方法 |
| 1.3.4 分离变量法 |
| 1.3.5 广田(Hirota)双线性法和齐次平衡法 |
| 1.3.6 其他方法简介 |
| 1.4 偏微分方程与可积系统研究 |
| 1.5 偏微分方程的定性和稳定性研究 |
| 1.5.1 偏微分方程与动力系统 |
| 1.5.2 偏微分方程的定性研究 |
| 1.5.3 偏微分方程的稳定性研究 |
| 1.6 李对称与相似约化研究综述 |
| 1.7 本文的主要工作 |
| 第二章 理论准备 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 微分流形 |
| 2.3 李群及其李代数简介 |
| 2.4 不变群与向量场、向量场的延拓 |
| 2.5 对称与待定系数法 |
| 2.6 微分方程与动力系统 |
| 2.6.1 二维可积系统 |
| 2.6.2 研究非线性方程的动力系统方法 |
| 2.6.3 雅可比(Jacobi)椭圆函数 |
| 2.7 潘勒维尔(Painleve)分析简介 |
| 2.8 本章小结 |
| 第三章 Burgers'方程的对称分析与精确解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 方程(3.1)的对称分析 |
| 3.3 方程(3.1)的对称约化与精确解 |
| 3.3.1 Burgers'方程的迭代解 |
| 3.3.2 Burgers'方程的约化解 |
| 3.4 基于幂级数法的方程(3.1)的精确解 |
| 3.5 本章小结与评注 |
| 第四章 推广的mKdV方程的对称分析、动力系统研究和精确解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 推广的mKdV方程的对称分析 |
| 4.3 推广的mKdV方程的行波解 |
| 4.3.1 方程(4.1)的行波变换 |
| 4.3.2 系统(4.5)相图分支 |
| 4.3.3 方程(4.1)的精确行波解 |
| 4.4 推广的mKdV方程的严格幂级数解 |
| 4.5 本章小结与注释 |
| 第五章 短脉冲方程的对称分析、动力系统分析与精确解 |
| 5.1 引言及预备知识 |
| 5.2 短脉冲方程的对称分析 |
| 5.3 对称的待定系数法 |
| 5.4 短脉冲方程的精确行波解 |
| 5.5 短脉冲方程的精确幂级数解 |
| 5.6 本章小结与注释 |
| 第六章 变系数债券方程的对称分析与精确解 |
| 6.1 引言及预备知识 |
| 6.2 债券方程的对称分析 |
| 6.3 对称约化与方程的精确解 |
| 6.4 方程的精确幂级数解 |
| 6.5 进一步的讨论 |
| 6.6 本章小结与注释 |
| 第七章 非线性演化方程的Painleve分析、对称与精确解 |
| 7.1 引言与预备知识 |
| 7.2 非线性演化方程的Painleve分析 |
| 7.3 三个非线性演化方程的对称分析 |
| 7.4 非线性演化方程的对称约化与精确解 |
| 7.4.1 非线性演化方程的行波解 |
| 7.4.2 非线性演化方程的其它约化解 |
| 7.5 非线性演化方程的其它精确解 |
| 7.5.1 非线性演化方程精确的幂级数解 |
| 7.5.2 基于Painleve截断展式的非线性演化方程的精确解 |
| 7.6 本章小结与注释 |
| 第八章 总结与展望 |
| 8.1 主要研究结果 |
| 8.2 主要创新点 |
| 8.3 研究展望 |
| 参考文献 |
| (一) 攻读博士学位期间接受发表的学术论文 |
| (二) 攻读博士学位前发表的部分论文 |
| 致谢 |
（9）非古典对称法及其在偏微分方程中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作及其研究意义 |
| 第二章 微分方程的李对称理论 |
| 2.1 微分流形、切空间、切映射、向量场 |
| 2.2 李群和李代数 |
| 2.3 李变换群和无穷小生成元 |
| 2.4 延拓变换、微分方程的不变性及群不变解 |
| 第三章 Rosenau-Hyman方程的对称 |
| 3.1 演化方程的对称 |
| 3.2 Rosenau-Hyman方程的对称 |
| 第四章 BOUSSinesq-Burgers方程的非古典对称及其群不变解 |
| 4.1 非古典对称方法简介 |
| 4.2 Burgers方程的非古典对称及其群不变解 |
| 4.3 Boussinesq-Burgers方程的非古典对称 |
| 4.4 Boussinesq-Burgers方程的群不变解 |
| 第五章 二维热传导方程的非古典对称和相容性 |
| 5.1 一类非线性偏微分方程的非古典对称 |
| 5.2 二维热传导方程的非古典对称和相容性 |
| 第六章 结束语 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士期间发表的论文 |
| 致谢 |
（10）Benney方程的势对称和不变解（论文提纲范文）
| 引 言 |
| 1 Benney方程的势对称和不变解设Benney方程 |
| 2 结论 |
四、Burgers方程的非古典势对称群及显式解（论文参考文献）
- [1]具有变系数的二阶非线性发展方程的群分类、守恒律和精确解研究[D]. 曹志杰. 昆明理工大学, 2014(05)
- [2]非线性偏微分方程的群叶状结构和泛函变量分离[D]. 冯玮. 西北大学, 2012(02)
- [3]非线性微分方程求解中的构造性方法与符号计算[D]. 陆斌. 大连理工大学, 2010(05)
- [4]非线性微分方程与超离散方程的若干求解和可积性问题研究[D]. 冯阳. 大连理工大学, 2010(05)
- [5]一类（2+1）维非线性扩散方程的对称及不变解[J]. 白银,郑丽霞,郭华. 内蒙古工业大学学报(自然科学版), 2010(01)
- [6]几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解[J]. 郭华,郑丽霞,白银. 动力学与控制学报, 2009(04)
- [7]微分方程的精确解、群与群不变解的分类问题[D]. 张晓岭. 大连理工大学, 2009(09)
- [8]基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究[D]. 刘汉泽. 昆明理工大学, 2009(12)
- [9]非古典对称法及其在偏微分方程中的应用[D]. 李丹. 江苏大学, 2008(10)
- [10]Benney方程的势对称和不变解[J]. 张红霞,郑丽霞,杜永胜. 动力学与控制学报, 2008(03)