一、一般关系下粗糙集上映射的拓扑性质（论文文献综述）
罗珺方[1]（2020）在《不完备信息系统的三支决策模型研究》文中研究指明从数据中发现有用的知识并做出合理的决策是数据分析研究热点之一。三支决策作为一种符合人类认知的决策模型被广泛的应用于数据分类和规则获取,它取代了传统的“非黑即白”的二支决策,允许第三种中间决策:延迟决策,这使得决策更具灵活性和可靠性。在现实的数据分析过程中,由于某些原因,数据可能会不完整,数据丢失或者部分已知,也有一些数据本身是不存在的,这样的数据在信息系统中称之为不完备信息,具有不完备信息的信息系统称之为不完备信息系统。不完备信息系统的相关主题已被广泛地研究,但是,对不完备信息的各种不同类型的语义却没有一个普遍的共识。由于缺乏语义的解释,导致很难去研究不完备信息系统的决策问题。本文通过总结不完备信息的常见语义,将完备信息系统中基于概念计算和概念认知获取三支决策的方法推广到不完备信息系统中,并讨论了当不关心空值型不完备信息系统动态变化时,近似度的增量式更新。主要获取了以下的研究成果:（1）基于经典集从概念计算和概念认知两个方面研究不完备信息系统的三支决策。基于经典集概念计算方法的核心是研究对象之间的相似关系和相似类,通过两种方法来研究对象的相似性:一种是基于不完备信息的语义直接在不完备信息系统中研究对象之间的相似关系,从而得到对象的相似类;另一种是基于可能值语义将不完备信息系统转化为集值信息系统来讨论对象之间的相似性。基于集值信息系统从两个角度出发讨论对象的相似性:第一种是基于对象的集值之间的关系得到对象之间的相似关系,从而得到相似类;另一种是将集值信息系统完备化为一族完备的信息系统,研究完备化信息系统中对象之间的等价关系,从而得到对象之间的相似关系,并进一步得到相似类。基于经典集概念认知方法的核心是研究对象对于描述公式的可满足性,通过不完备信息的不同语义定义了不完备信息系统中对象的描述,满足对象描述公式的对象集构成了该对象的相似类。不完备信息系统中对象的相似类就是可定义集,基于相似类的描述,进一步获取三支决策规则。（2）基于模糊集从概念计算和概念认知两个方面研究不完备信息系统的三支决策。首先通过可能值语义将不完备信息系统转化为集值信息系统。基于模糊集概念计算方法的关键是研究对象之间的相似度,通过推广了完备信息系统中的等价关系,提出了一种新的对象之间相似度的定义。基于此,分别使用α-相似类或对象的近似度来进一步获取三支决策规则。基于模糊集概念认知方法的关键是研究对象对于描述公式的满足度,通过推广完备信息系统中对象对于描述公式的可满足性,定义了不完备信息系统中对象对于描述公式的满足度。基于此,分别使用描述公式的α-意义集或公式的可信度来进一步获取三支决策规则。（3）针对不关心空值型不完备信息系统提出基于程度容差关系的三支决策模型,并研究不完备信息系统动态变化时近似度的增量更新。首先,在不关心空值型不完备信息系统中定义了可以刻画对象之间相似性程度差异的程度容差关系。然后通过模糊逻辑算子定义了对象的正、负近似度,并引入关系矩阵,用以有效的计算近似度。其次在对象的近似度中引入阈值,得到了对象的正、负描述域,并进一步获取三支决策规则。当不完备信息系统动态变化时,讨论了增量式更新对象近似度的方法来有效的获取变化后信息系统的决策规则。分别讨论了当不完备信息系统中删除或添加属性、删除或添加对象以及更改对象的属性值时,通过增量更新关系矩阵来更新近似度的不同增量算法。最后通过UCI中的数据集评估算法的效率。
袁珍珠[2]（2020）在《偏序集上的范畴对偶和拓扑性质的研究》文中进行了进一步梳理Domain理论是D.S.Scott在70年代初提出来的,它给计算机函数式语言提供了指称语义.序结构和拓扑结构是在Domain理论中占据重要地位的数学结构,序和拓扑是可以互相生成的.本文在已有的Domain理论和最新研究成果的基础上,讨论了一类新的偏序集的拓扑表示和范畴对偶;给出Z-预分配或Z-预连续偏序集的范畴间的对偶理论;研究一些非Hausdorff拓扑性质.具体内容如下:首先,我们定义了一类新的偏序集,它们是有补元的且理想分配的偏序集,我们称之为强布尔偏序集.该定义是不同于布尔偏序集对布尔格的推广.我们在所有素Frink理想集构成的偏序集上赋予一个拓扑,从而得到强布尔偏序集的Stone型的拓扑表示.讨论强布尔偏序集范畴与BP-空间范畴之间的对偶性.其次,我们进一步研究了Erne引入的Z-预分配和Z-预连续偏序集.当Z是闭子集选择时,我们重点讨论了Z-预分配和Z-预连续偏序集基于伽罗瓦联络应用的对偶定理.例如,所有的Z-预分配偏序集分别带有具有下伴随的弱Z△-连续映射和具有上伴随的保Z-below关系的映射构成的范畴Z-PDG和范畴Z-PDD是对偶的.我们引入了Z0-逼近辅助关系,并对Z-预连续性作出改进,从而可以推广domain与辅助关系之间的经典等价.众所周知拓扑空间中的sober性,良滤性和单调收敛性是在Domain理论中被广泛研究的三个重要性质.一些作者还研究了其他一些弱化形式的sober性和良滤性.这些拓扑性质的概念看起来不同.但我们通过引入（?）-fine空间的概念来将这些性质的概念统一化.同时我们还对弱良滤和弱sober空间做进一步研究.我们证明了弱良滤性和弱sober性在局部紧空间中是等价的;在第一可数空间中,弱sober性也等价于弱良滤性.最后,基于上述提到的（?）-fine空间,利用这种统一化的方法还引入了一些新的拓扑性质:PF-sober和PF-良滤.我们对PF-sober和PF-良滤空间进行探索,发现它们分别严格弱于弱sober和弱良滤空间,并且在coherence或收缩性质方面不同于其他空间.
张晓霞[3]（2018）在《非负矩阵分解与粗糙集若干理论及方法研究》文中研究表明高维度数据通常具有很强的不确定性,主要表现为数据的稀疏和不一致.稀疏就是所获取的数据有缺失,不一致就是数据中有重复或者描述相同而决策不同的数据.考虑到高维数据的这种不确定性特点以及其维数灾难问题,本文分别采用非负矩阵分解算法和粗糙集理论来讨论其维数约简问题,相应地建立了非负矩阵分解新算法和粗糙集预测算法的泛化误差界.详细工作如下:1.提出了基于投影的图正则化非负矩阵分解算法.该算法在非负矩阵分解算法的目标函数中引入了一个新的正则化子,新正则化子利用投影算子找到了原始数据在低维空间中的表达,并利用流形学习的思想刻画了其局部几何特征.新正则化子建立的假设基础是原始空间中相似的样本在低维空间中依然相似,局部就是只关注样本及其近邻间的相似关系.结合非负矩阵分解算法与新的正则化子,本文构造了新的目标函数,其目标就是希望尽可能的在低维空间中保持样本及其近邻间的相似关系并最小化预测误差.本文利用乘性迭代更新规则和交替迭代更新规则优化了该目标函数,并证明了其收敛性,实验结果表明文中所提算法在预测电影评分上较其他算法表现更优.2.提出了基于相关性和图正则化的增量非负矩阵分解算法.当新加入一个样本时,本文提出的增量算法不但更新新样本的特征,同时也更新与其相关样本的特征.实验表明,相关性的引入提高了算法对缺失值的预测,原因有两方面:一方面是相关性的引入增加了需要重新更新特征表示的样本个数;另一方面是随着新样本的加入,训练集也一直在增加,因为本文所考虑的增量算法在增量过程中,会把新样本加入训练集,当下一次有新样本进来时,上一次加入的样本就会变成一个训练样本,而且有可能会被选作新样本的近邻.3.在序直觉模糊信息系统中,提出了广义优势关系和广义β优势关系及其属性约简.广义优势关系在样本划分过程中只考虑样本所有属性值的综合评价值间的序关系,而不考虑其单个属性值间的序关系;广义β优势关系在广义优势关系的基础上增加了单个属性值间序关系的限制,要求样本间的序关系在综合评价值和单个属性值上同时满足.基于这两种广义优势关系,文中还讨论了序直觉模糊信息系统的属性约简.在大样本多属性决策问题中,广义优势关系和广义β优势关系不会使样本划分的粒太细,从而减小了规则提取过程中信息的损失.4.刻画了粗糙集预测算法的泛化误差界.文中首先利用等价类构造了 一般意义下的粗糙集预测算法,并利用算法的稳定性定量刻画了算法的泛化误差界.结果表明粗糙集预测算法的泛化误差界与样本数和稳定性参数有关,样本越多,稳定性参数越小,其泛化误差界越小,反之亦然.基于该结果,定量度量了置信度算法和最大置信度最小支持度算法的泛化误差界.因为粒化越粗,置信度预测算法的稳定性参数越小,所以当样本数不变时,粒化越粗其泛化误差界就越小,然而经验误差却会增大,此时置信度算法表现出过拟合现象.最后数值验证了文中理论结果.
杨斌[4]（2018）在《模糊覆盖粗糙集及其扩展模型研究》文中研究说明覆盖粗糙集作为经典粗糙集的一种推广,在不完备信息系统的数据预处理、属性约简等问题上有着重要的应用.模糊覆盖是经典集上的覆盖在模糊集上的一种自然推广.因此,模糊覆盖粗糙集的研究为模糊信息系统中数据预处理和属性约简等问题提供了理论上的依据.本文在模糊覆盖近似空间中基本定义和性质研究的基础上,主要研究了模糊覆盖粗糙集及其扩展模型.本文主要工作有以下几个方面:（1）研究了模糊覆盖近似空间中的一些基本概念及其性质.首先,将经典覆盖上的邻域系统、最小描述和最大描述等概念推广性地定义在模糊覆盖上,得到模糊覆盖近似空间中的一些基本概念.其次,通过模糊集合的交、并、补等运算,定义了几类模糊覆盖近似空间中的邻域算子,研究了这些邻域算子的基本性质及其相互之间的关系.此外,利用邻域算子可以定义出几类模糊覆盖.很自然地,考虑了这些邻域算子导出模糊覆盖与原模糊覆盖之间的关系.最后,分别考虑了两个模糊覆盖产生相同最小描述、最大描述、邻域系统等的充分必要条件.（2）基于最小描述的概念,提出了一类模糊覆盖粗糙集模型.首先,研究了这类模糊覆盖粗糙集模型的一些基本性质.其次,给出了这些模糊覆盖粗糙近似算子的矩阵表示和公理化刻画.模糊覆盖块的冗余问题是模糊覆盖粗糙集研究的一个重要内容.基于此,考虑了两个模糊覆盖产生相同的模糊覆盖粗糙近似算子的充分必要条件.最后,将这类模糊覆盖粗糙集模型进一步推广在模糊格上.（3）基于模糊覆盖上的邻域算子,提出了几类模糊覆盖粗糙集模型.首先,研究了这几类模糊覆盖粗糙集模型的一些基本性质.其次,给出了这几类模糊覆盖粗糙近似算子的矩阵表示和公理化刻画.此外,考虑了两个模糊覆盖产生相同的模糊覆盖粗糙近似算子的充分必要条件.特别地,对这几类基于邻域算子的模糊覆盖粗糙集模型进行了对比研究.（4）研究了基于两个不同论域上的模糊覆盖粗糙集模型.首先,基于Zadeh扩展原理给出了一类基于两个不同论域上的模糊覆盖粗糙集并研究了其基本性质.其次,给出了这类模糊覆盖粗糙近似算子的矩阵表示.此外,考虑了两个模糊覆盖产生相同的模糊覆盖粗糙近似算子的充分必要条件.特别地,可以应用这类模糊覆盖粗糙集模型解决多标准决策问题中的属性约简.信息识别和交互在信息技术领域有着重要作用.基于此,考虑将双论域模糊覆盖粗糙集应用到模糊信息系统交互的问题中.（5）考虑了模糊覆盖粗糙集在剩余格上的一些推广.剩余格是一种重要的数学结构.由于在多值推理中,剩余格上的运算对多值推理的实现至关重要.所以,将模糊覆盖粗糙集推广到剩余格上是一个很重要的理论研究方向.首先,给出了几类模糊覆盖粗糙集在剩余格上的推广模型并研究了其基本性质.其次,研究了这几类模糊覆盖粗糙近似算子的矩阵表示、公理化刻画以及依赖性。
孙小义[5]（2018）在《基于二元关系的粗糙诱导拓扑及其性质》文中认为粗糙集通过二元关系密切联系着拓扑.二元关系关联着自反性、对称性、传递性,三种基本性质组合出一种三层网络的系统结构,其蕴含着七类基本二元关系（即自反、对称、传递、自反对称、自反传递、对称传递、等价等关系）,相关的粗糙集与拓扑结合研究具有重要意义.粗糙近似算子能够诱导拓扑,相关的粗糙诱导拓扑已经具有基于自反对称关系、自反传递关系、等价关系的研究,而基于对称关系构建的粗糙诱导拓扑为平凡拓扑.对此,本学位论文主要研究基于剩余三类二元关系（即自反关系、传递关系、对称传递关系）的粗糙诱导拓扑及其基本性质,以完善基于二元关系三层网络的粗糙诱导拓扑的体系构建.具体地,本学位论文主要包括如下三个方面的内容.1、基于自反关系,定义近似集,由下近似集来构建粗糙诱导拓扑,得到上下近似集与内部闭包的包含关系.证明了基于自反关系的粗糙诱导拓扑满足（ref）条件和（clop）条件.建立内部闭包近似集和近似集内部闭包,讨论内部算子、闭包算子与近似算子的包含序关系.构造一自反关系,满足（sepa）条件的拓扑的内部闭包成为该自反关系下的下上近似集.满足（sepa）条件的拓扑,恰为一自反关系的粗糙诱导拓扑,且其论域上的单点集闭包恰为单点集本身.2、基于传递关系,定义近似集,由下近似集来构建粗糙诱导拓扑,得到下近似集恰为内部,而闭包包含于上近似集.针对粗糙诱导拓扑,确立最小基.证明了基于传递关系的粗糙诱导拓扑满足（tra）条件和（clop）条件.建立内部闭包近似集和近似集内部闭包,讨论内部算子、闭包算子与近似算子的包含序关系.构造一传递关系,得到基于该传递关系的下上近似集与满足（COMP）条件的拓扑的内部闭包成包含关系,以及满足（COMP）条件的拓扑与一传递关系下的粗糙诱导拓扑成包含关系.3、基于对称传递关系,定义粗糙集近似集,由单点集的上近似集包含于观测集来构建粗糙诱导拓扑.给出粗糙诱导拓扑的内部与闭包.针对构建的粗糙诱导拓扑,确立基与邻域基.利用基与邻域基得到粗糙诱导拓扑的第二可数性、第一可数性、可分性、林德洛夫性等可数性特征.最后,采用一个实例来有效说明相关的粗糙诱导拓扑及其可数性.本文研究立足于三种基本二元关系所构成的“三层七类”网络,完善了粗糙诱导拓扑的系统构建.相关性质与结果从二元关系的角度深入揭示了粗糙集与拓扑的密切联系.
李露[6]（2018）在《近似内部与近似闭包及相关性质》文中研究说明粗糙集是研究不确定性的一种有效工具,它主要源于上下近似双向逼近结构.拓扑是研究同胚不变性的经典数学学科,其主要立足开集结构进行系统构建.粗糙集与拓扑具有紧密联系,相关的结合研究具有重要意义.特别地,开集取近似可以形成近似开集,相关的近似拓扑已有定义,但其中主要涉及变异的并交补运算.对此,本文以近似开集为唯一起点,采用经典拓扑构建技术（包括采用常规的并交补运算）,对新型近似拓扑体系进行初步探讨.作为开端,本文依靠近似开集基点与经典拓扑推演来构建近似内部与近似闭包,并研究相关性质.本文的具体内容如下.第1章总体阐述研究背景与研究思路.第2章回顾粗糙集、拓扑和近似拓扑的相关知识,并定义近似开集确立近似拓扑,建立近似闭集.第3章基于近似开集,定义近似内部获得基本性质,分析近似内部与内部、内部近似集、近似集内部的包含序关系,最后利用实例进行相关说明.第4章基于近似闭集,定义近似闭包获得基本性质,分析近似闭包与闭包、闭包近似集、近似集闭包的包含序关系,利用实例进行相关说明,最后基于近似隔离定义近似连通并获得其基本性质.第5章总结全文,并展望了后继研究方向:近似内部与近似闭包分别实现了对经典内部和经典闭包的逼近与扩张,相关的包含序等性质深化了粗糙集与拓扑结合的结构研究.本文研究具体提供了近似拓扑的深入发展方向,近似连通以外的近似拓扑性质都可以深入.
孙小义,张贤勇,李露[7]（2018）在《对称传递关系的诱导拓扑及其可数性》文中研究表明粗糙集通过二元关系密切联系拓扑,并具有基于自反、自反传递、自反对称等关系的拓扑研究。采用对称传递关系构建拓扑并研究其可数性。基于对称传递关系,定义粗糙集近似集,由此建立拓扑及内部、闭包;针对构建拓扑,确立基与邻域基,得到第二可数性、第一可数性、可分性、林德洛夫性等可数性特征;提供实例分析。研究结果基于新二元关系揭示粗糙集与拓扑深入联系。
张海东[8]（2017）在《基于犹豫模糊环境下的软集与粗糙集理论模型的研究》文中认为在现实生活中,复杂世界的不确定性表现在多个方面,主要包括含糊性、模糊性、随机性、粗糙性和犹豫性等方面。在实际处理这些不确定性问题时,传统的数学方法已经不再满足要求。基于这种背景,研究者们先后提出了一系列处理不确定性问题的数学理论工具,例如模糊集理论、粗糙集理论、软集理论和最新的犹豫模糊集理论等。犹豫模糊集理论作为最近几年不确定性理论中的热点研究方向已经吸引了许多研究者的注意,并且它在理论和应用这两方面已经产生了许多丰硕的成果。本文深入研究犹豫模糊集理论,重点探讨犹豫模糊集、粗糙集和软集等不确定性理论的融合。具体工作包括以下的内容:1.通过融合犹豫模糊集和粗糙集,提出了一种研究犹豫模糊粗糙集的新的框架结构。给出了犹豫模糊集关于犹豫模糊近似空间的下、上近似的定义,由此改进Yang等人提出的犹豫模糊粗糙集,并深入探讨了犹豫模糊近似算子的性质。同时证明了自反且传递的犹豫模糊近似空间上的下近似可以生成一个犹豫模糊拓扑,反过来,犹豫模糊拓扑空间中满足一定条件的犹豫模糊内部算子可以产生一个自反且传递的犹豫模糊近似空间,并且被诱导出来的犹豫模糊粗糙下近似恰好是这个犹豫模糊拓扑空间的犹豫模糊内部算子。即就是说,自反且传递的犹豫模糊近似空间与犹豫模糊粗糙拓扑空间之间存在一个一一对应。2.通过融合犹豫模糊集和多粒度粗糙集,推广多粒度粗糙集至犹豫模糊环境,引进了两种多粒度犹豫模糊粗糙集模型:乐观多粒度犹豫模糊粗糙集和悲观多粒度犹豫模糊粗糙集。确立了单粒度犹豫模糊粗糙集、乐观多粒度犹豫模糊粗糙集和悲观多粒度犹豫模糊粗糙集这三者之间的关系。为了进一步度量多粒度犹豫模糊粗糙集的不确定性,引进了粗糙度与关于参数α,β的粗糙度的概念,并研究了它们相关的性质。最后,为了消除多余的犹豫模糊粒度,在多粒度犹豫模糊粗糙集基础上给出多粒度犹豫模糊决策信息系统的一种约简方法,并通过具体的实例说明了该方法的有效性。3.推广犹豫模糊粗糙集模型至双论域情形,通过构造性方法引进一种基于双论域上的犹豫模糊粗糙集模型,并讨论了该模型的一些性质。研究了双论域犹豫模糊近似空间上的犹豫模糊集的粗糙度,并讨论了双论域上的犹豫模糊粗糙集的并、交及其合成运算。最后,基于这种双论域上的犹豫模糊粗糙集给出一种不确定性环境中的决策方法,并通过两个实际的应用例子说明该方法的有效性。4.通过融合对偶犹豫模糊集和软集理论,引进软集的一种拓展模型——对偶犹豫模糊软集。同时研究对偶犹豫模糊软集的补、和、或、环和及其环积运算。此外,基于这种对偶犹豫模糊软集引进一种可调整的决策方法,并通过具体的实例说明了该决策方法的有效性。最后,引进加权对偶犹豫模糊软集,并考虑了它在决策问题中的应用。
马对霞[9]（2016）在《粗糙集拟阵结构的性质及其应用》文中研究表明粗糙集理论在解决信息系统中的不确定、不精确、不完整知识时起到了很好的作用。它处理问题的原理是借助一对精确集合,也就是上近似和下近似,来对一个不精确集合进行近似地描述。这一理论已经被广泛地应用于人工智能、知识与数据发现、机器学习等很多领域。但是任何一个单一的理论都很难完美地解决现实生活中的复杂问题。拟阵是一个同时推广了线性代数和图论的表示抽象相关性和抽象无关性的统一化概念。正由于它的这样的特性,使得拟阵成为了一个理论性和实用性都很强的数学工具,已经被应用于算法设计、组合优化、信息编码等很多领域。由此可见,粗糙集与拟阵有很多共同的应用领域。因此,一些学者尝试将粗糙集与拟阵相结合来解决现实生活中的复杂问题,并且取得了一定的成果。目前,对于粗糙集和拟阵结合的研究已经很多了,但是这些研究工作还是不够深入的,尤其是对于粗糙集的拟阵结构的性质的研究比较单一。因此,研究粗糙集的拟阵结构的性质及其应用将有助于利用拟阵这个理论性很强的数学结构解决粗糙集中的问题,极大地促进和推广了粗糙集的拟阵结构在现实生活中的巨大作用,这将带动其理论和应用更好地发展。在本文中,我们针对这一目的,将从以下三个方面进行研究。（1）首先,利用关系粗糙集中的上近似和下近似,在任意的一个二元关系中定义一个函数,证明了这个函数满足拟阵的秩函数公理,这就构造了基于一般二元关系的粗糙集的拟阵结构,并且找到了自反或者对称且传递的关系导出的拟阵才是一个可图拟阵。同时,给出了对应的图的构造方法;其次,我们利用覆盖粗糙集中的上、下近似算子建立了基于覆盖粗糙集的拟阵结构,并且将拓扑空间与覆盖近似空间联系起来,研究了基于覆盖粗糙集的拟阵结构的拓扑性质。（2）定义了一个基于等价关系的粗糙拟阵,从基的角度对这个粗糙拟阵进行公理化。并且研究了基于等价关系的粗糙拟阵的性质,得出了这样的一个结论:对于论域上的任何一个子集,与它相关的基于等价关系的粗糙拟阵并不是唯一的。因此,我们重点研究了这些粗糙拟阵的一些特征,并且给出了论域上某个子集与这个子集所相关的粗糙拟阵之间的某种对应关系。（3）充分利用前面对粗糙集和拟阵结合的研究成果,总结基于粗糙集的拟阵结构的性质,建立网络安全、形式背景等领域上的拟阵结构,将粗糙集与拟阵相结合这一理论应用于实际生活中,展示其实际应用性。
杨斌[10]（2015）在《粗糙拟阵若干问题的研究》文中认为粗糙拟阵这个概念是由祝峰教授等人率先提出的。作为粗糙集理论和拟阵概念的一种推广,粗糙拟阵既有粗糙集的理论支撑,又有粗糙集的广泛应用基础。同时,粗糙拟阵也继承了拟阵理论完备的公理系统与应用基础。也正因为如此,粗糙拟阵是一种处理信息系统中不确定性与模糊性问题比粗糙集更为有效的工具,同时也在算法设计以及组合优化问题中有着更为重要的作用。目前,对于粗糙拟阵这个新的研究领域而言,在理论和应用方面的研究还不太成熟,需要我们继续去研究和挖掘。本文将在祝峰教授等人工作的基础上,通过对粗糙集理论和拟阵理论的结合,对覆盖粗糙拟阵的若干问题进行研究。本论文主要的创新性研究成果体现在以下几个方面:（1）介绍了粗糙集理论和拟阵理论结合研究的一些主要成果。利用粗糙集的一些性质构造性地定义出几类粗糙集的拟阵结构,并且通过粗糙集的方法研究这几类拟阵的一些基本性质及其应用。同时,拟阵连通性的判定是拟阵论中的一个重点和难点问题,通过构造性的方法,可以利用粗糙集的方法讨论拟阵的连通性。最后,在一些特殊的拟阵结构中我们可以定义出一些粗糙集模型,并对这类粗糙集模型的基本性质进行研究。（2）研究了基于二元关系粗糙拟阵的性质及其等价刻画。通过结合粗糙集和拟阵的基本理论和方法,对基于二元关系的粗糙拟阵的性质做进一步探讨;同时,粗糙拟阵作为拟阵概念的推广,可以在拟阵论的基础上对基于二元关系粗糙拟阵的等价刻画进行研究。（3）提出了基于覆盖粗糙拟阵的定义并对其性质进行了研究。覆盖粗糙集是经典粗糙集的一种拓广。所以,在祝峰教授等人基于等价关系（划分）定义的粗糙拟阵的基础上,提出了基于覆盖粗糙拟阵的定义,研究了基于覆盖粗糙拟阵的性质,并进一步探讨了基于覆盖粗糙拟阵的等价刻画。
二、一般关系下粗糙集上映射的拓扑性质（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一般关系下粗糙集上映射的拓扑性质（论文提纲范文）
（1）不完备信息系统的三支决策模型研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究的背景及意义 |
| 1.2 三支决策研究现状 |
| 1.3 粗糙集及其拓展模型研究现状 |
| 1.4 不完备信息系统研究现状 |
| 1.5 粗糙集中动态知识更新研究现状 |
| 1.6 本文主要工作 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 基于Pawlak粗糙集的三支决策模型 |
| 2.1.1 完备信息系统中基于概念计算的三支决策 |
| 2.1.2 完备信息系统中基于概念认知的三支决策 |
| 2.1.3 两种方法的等价性 |
| 2.1.4 基于描述域获取三支决策规则的方法 |
| 2.2 不完备信息系统 |
| 2.2.1 不完备信息的语义解释 |
| 2.2.2 基于不同语义的不完备信息系统 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 不完备信息系统中基于经典集的三支决策模型 |
| 3.1 基于经典集概念计算获取可定义集的方法 |
| 3.1.1 不完备信息系统中的相似性 |
| 3.1.2 集值信息系统中的相似性 |
| 3.2 基于经典集概念认知获取可定义集的方法 |
| 3.3 不同相似关系和相似类之间的关系 |
| 3.4 基于描述域获取三支决策规则的方法 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 不完备信息系统中基于模糊集的三支决策模型 |
| 4.1 基于模糊集概念计算的三支决策 |
| 4.1.1 基于α-相似类获取三支决策规则的方法 |
| 4.1.2 基于对象相似度获取三支决策规则的方法 |
| 4.2 基于模糊集概念认知的三支决策 |
| 4.2.1 基于公式的α-意义集获取三支决策规则的方法 |
| 4.2.2 基于公式可信度获取三支决策规则的方法 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 不完备信息系统中基于程度容差关系近似度的增量式更新 |
| 5.1 基于程度容差关系的三支决策模型 |
| 5.2 不完备信息系统动态变化时近似度的增量更新方法 |
| 5.2.1 增减属性时关系矩阵的增量更新方法 |
| 5.2.2 增减对象时关系矩阵的增量更新方法 |
| 5.2.3 改变属性值时关系矩阵的增量更新方法 |
| 5.3 算法分析和实验评价 |
| 5.3.1 传统算法和增量式更新算法的时间复杂度分析 |
| 5.3.2 传统算法和非增量式算法的实验对比 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及科研成果 |
（2）偏序集上的范畴对偶和拓扑性质的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 主要工作和创新点 |
| 1.3 本文记号 |
| 第2章 强布尔偏序集的拓扑对偶 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 强布尔偏序集上的素Frink理想 |
| 2.3 强布尔偏序集的拓扑表示 |
| 2.4 范畴SBP与范畴BPS之间的对偶 |
| 第3章 广义Z-连续偏序集的范畴对偶理论 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 Z-预分配偏序集的范畴对偶 |
| 3.3 Z_0-逼近辅助关系 |
| 第4章 一些非Hausdorff拓扑性质的统一形式 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 Θ-fine空间 |
| 4.3 弱良滤空间的性质 |
| 4.4 弱sober空间的主要性质 |
| 第5章 PF-sober和 PF-良滤空间 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 PF-sober和 PF-良滤空间的性质 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A 攻读学位期间所发表的学术论文目录 |
（3）非负矩阵分解与粗糙集若干理论及方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 非负矩阵分解算法的国内外研究现状 |
| 1.2.1 基本非负矩阵分解算法 |
| 1.2.2 约束非负矩阵分解算法 |
| 1.2.3 增量非负矩阵分解算法 |
| 1.3 粗糙集的国内外研究现状 |
| 1.3.1 粗糙集模型的扩展 |
| 1.3.2 基于粗糙集的属性约简 |
| 1.3.3 粗糙集模型的度量 |
| 1.4 本文的主要工作及内容安排 |
| 第2章 基于投影图正则化的非负矩阵分解(LPGNMF) |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.2.1 非负矩阵分解算法 |
| 2.2.2 图正则化非负矩阵分解算法 |
| 2.3 基于投影和图正则化的非负矩阵分解算法 |
| 2.3.1 LPGNMF的目标函数 |
| 2.3.2 LPGNMF的乘性迭代更新规则 |
| 2.3.3 LPGNMF的交替迭代更新规则 |
| 2.4 算法复杂性分析 |
| 2.5 实验分析 |
| 2.5.1 数据集描述 |
| 2.5.2 算法性能度量标准 |
| 2.5.3 参与比较的算法 |
| 2.5.4 参数选择 |
| 2.5.5 算法比较 |
| 2.5.6 相似性讨论 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 基于相关性和图正则化的增量非负矩阵分解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 基础知识 |
| 3.2.1 增量非负矩阵分解 |
| 3.2.2 增量图正则化非负矩阵分解 |
| 3.3 基于相关性和图正则化的增量非负矩阵分解算法(ICGNMF) |
| 3.3.1 ICGNMF的目标函数 |
| 3.3.2 ICGNMF的更新规则 |
| 3.4 实验分析 |
| 3.4.1 数据集描述 |
| 3.4.2 算法性能度量标准 |
| 3.4.3 参数设置 |
| 3.4.4 算法比较 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 优势直觉模糊信息系统的广义优势关系及其属性约简 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 广义优势关系及DIFIS的属性约简 |
| 4.3.1 广义优势关系 |
| 4.3.2 广义优势关系下DIFIS的属性约简 |
| 4.4 广义β优势关系及其DIFIS的属性约简 |
| 4.4.1 广义β优势关系 |
| 4.4.2 广义β优势关系下DIFDS的属性约简 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 粗糙集预测算法的泛化误差界 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 基本知识 |
| 5.2.1 粗糙集 |
| 5.2.2 置信度算法 |
| 5.2.3 最大置信度最小支持度算法 |
| 5.2.4 算法的经验误差和泛化 |
| 5.3 粗糙集预测算法的稳定性和泛化误差界 |
| 5.3.1 粗糙集预测算法 |
| 5.3.2 粗糙集预测算法的稳定性和泛化界 |
| 5.4 置信度算法和MCMS算法的泛化误差界 |
| 5.5 实验分析 |
| 5.5.1 实验设置 |
| 5.5.2 参数设置 |
| 5.5.3 实验结果 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 攻读博士学位期间参加的科研工作 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（4）模糊覆盖粗糙集及其扩展模型研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 粗糙集理论和属性约简 |
| 1.2 模糊覆盖粗糙集 |
| 1.3 研究意义和主要工作 |
| 1.4 创新点和组织结构 |
| 2 基本概念 |
| 2.1 经典粗糙集理论 |
| 2.2 覆盖粗糙集理论 |
| 2.3 模糊覆盖粗糙集 |
| 3 模糊覆盖近似空间中的基本概念及其性质 |
| 3.1 模糊邻域系统、最大描述和最小描述 |
| 3.2 模糊邻域算子 |
| 3.3 模糊邻域算子导出的模糊覆盖 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 基于最小描述的模糊覆盖粗糙集 |
| 4.1 基于最小描述的模糊覆盖粗糙集 |
| 4.2 基于最小描述模糊覆盖粗糙集在模糊格上的推广 |
| 4.3 本章小结 |
| 5 基于邻域算子的模糊覆盖粗糙集 |
| 5.1 Ma的模糊覆盖粗糙近似算子的依赖性和公理化 |
| 5.2 基于邻域算子的三类模糊覆盖粗糙集 |
| 5.3 本章小结 |
| 6 基于双论域的模糊覆盖粗糙集 |
| 6.1 模糊覆盖粗糙集在模糊信息系统关系研究中的应用 |
| 6.2 双论域上的模糊覆盖粗糙集模型及其应用 |
| 6.3 本章小结 |
| 7 基于剩余格的模糊覆盖粗糙集 |
| 7.1 剩余格上模糊覆盖粗糙近似算子的矩阵表示和依赖性 |
| 7.2 一类剩余格上的模糊覆盖粗糙集模型 |
| 7.3 本章小结 |
| 8 结语 |
| 参考文献 |
| 攻博期间发表的科研成果目录 |
| 攻博期间已投稿科研成果目录 |
| 攻读博士学位期间所获奖励 |
| 攻读博士学位期间参与的科研项目 |
| 攻读博士学位期间参加的学术活动 |
| 致谢 |
（5）基于二元关系的粗糙诱导拓扑及其性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 粗糙集基本知识 |
| 2.2 拓扑相关知识 |
| 2.3 基于四类基本二元关系的拓扑及其性质 |
| 3 基于自反关系的粗糙诱导拓扑及其性质 |
| 3.1 自反关系下的近似集 |
| 3.2 自反关系下的拓扑及其性质 |
| 3.3 拓扑下的自反关系 |
| 3.4 自反关系与拓扑 |
| 3.5 小结 |
| 4 基于传递关系的粗糙诱导拓扑及其性质 |
| 4.1 传递关系下的近似集 |
| 4.2 传递关系下的拓扑及其性质 |
| 4.3 拓扑下的传递关系 |
| 4.4 小结 |
| 5 基于对称传递关系的粗糙诱导拓扑及其性质 |
| 5.1 基于对称传递关系的近似集 |
| 5.2 基于对称传递关系的拓扑 |
| 5.3 粗糙诱导拓扑的基与邻域基 |
| 5.4 粗糙诱导拓扑的可数性 |
| 5.5 实例说明 |
| 5.6 小结 |
| 6 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在校期间的科研成果 |
（6）近似内部与近似闭包及相关性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 粗糙集 |
| 2.2 拓扑 |
| 2.3 近似拓扑 |
| 3 近似内部及其性质 |
| 3.1 近似内部的定义 |
| 3.2 近似内部的包含序性质 |
| 3.3 实例说明 |
| 3.4 小结 |
| 4 近似闭包及其性质 |
| 4.1 近似闭包的定义 |
| 4.2 近似闭包的包含序性质 |
| 4.3 实例说明 |
| 4.4 近似连通及其性质 |
| 4.5 小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在校期间的科研成果 |
（7）对称传递关系的诱导拓扑及其可数性（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 粗糙集与拓扑的预备 |
| 2.1 粗糙集预备 |
| 2.2 拓扑预备 |
| 3 基于对称传递关系的近似集与拓扑 |
| 3.1 基于对称传递关系的近似集 |
| 3.2 基于对称传递关系的拓扑 |
| 4 对称传递关系的诱导拓扑的基、邻域基、可数性 |
| 4.1 Tθ诱导拓扑的基与邻域基 |
| 4.2 Tθ诱导拓扑的可数性 |
| 5 实例分析 |
| 6 结束语 |
（8）基于犹豫模糊环境下的软集与粗糙集理论模型的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 主要符号表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和现状 |
| 1.2 本文的主要工作及内容安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 犹豫模糊集 |
| 2.2 对偶犹豫模糊集 |
| 2.3 粗糙集与多粒度粗糙集 |
| 2.4 软集与模糊软集 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 犹豫模糊粗糙集及其拓扑性质 |
| 3.1 犹豫模糊粗糙集 |
| 3.2 犹豫模糊拓扑空间 |
| 3.3 犹豫模糊近似空间与犹豫模糊拓扑空间之间的联系 |
| 3.3.1 从犹豫模糊近似空间到犹豫模糊拓扑空间 |
| 3.3.2 从犹豫模糊拓扑空间到犹豫模糊近似空间 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 广义犹豫模糊容差空间上的多粒度犹豫模糊粗糙集 |
| 4.1 犹豫模糊容差空间上的单粒度犹豫模糊粗糙集 |
| 4.2 广义犹豫模糊容差空间上的多粒度犹豫模糊粗糙集 |
| 4.2.1 广义犹豫模糊容差空间上的乐观多粒度犹豫模糊粗糙集 |
| 4.2.2 广义犹豫模糊容差空间上的悲观多粒度犹豫模糊粗糙集 |
| 4.3 单粒度犹豫模糊粗糙集与两种多粒度犹豫模糊粗糙集之间的关系 |
| 4.4 乐观与悲观多粒度犹豫模糊粗糙集的粗糙度 |
| 4.5 多粒度犹豫模糊决策信息系统的近似约简 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 基于双论域的犹豫模糊粗糙集及其应用研究 |
| 5.1 基于双论域的犹豫模糊粗糙集 |
| 5.2 双论域犹豫模糊近似空间上的犹豫模糊集的粗糙度 |
| 5.3 双论域上的犹豫模糊粗糙集的并、交及其合成运算 |
| 5.4 基于双论域的犹豫模糊粗糙集的决策方法 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 对偶犹豫模糊软集及其应用研究 |
| 6.1 对偶犹豫模糊软集 |
| 6.1.1 对偶犹豫模糊软集的概念 |
| 6.1.2 对偶犹豫模糊软集的运算 |
| 6.2 基于对偶犹豫模糊软集的决策问题研究 |
| 6.3 基于权重对偶犹豫模糊软集的决策问题研究 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（9）粗糙集拟阵结构的性质及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 粗糙集理论的研究现状 |
| 1.2.2 拟阵论的研究现状 |
| 1.2.3 粗糙集和拟阵结合的研究历史和现状分析 |
| 1.3 主要研究内容和创新之处 |
| 第2章 背景知识回顾 |
| 2.1 粗糙集理论 |
| 2.1.1 基本概念 |
| 2.1.2 上下近似算子的性质 |
| 2.2 拟阵理论和图论 |
| 2.2.1 图论 |
| 2.2.2 拟阵理论 |
| 2.3 拓扑 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 粗糙集拟阵结构的性质 |
| 3.1 关系粗糙集拟阵结构的可图性质 |
| 3.1.1 关系粗糙集的相关概念 |
| 3.1.2 关系粗糙集的拟阵结构 |
| 3.1.3 UM),( IR的可图性研究 |
| 3.2 覆盖粗糙集拟阵结构的拓扑性质 |
| 3.2.1 覆盖粗糙集的相关概念 |
| 3.2.2 由覆盖圈拟阵导出的拓扑空间 |
| 3.2.3 Μ -拓扑空间与覆盖圈拟阵之间的对应关系 |
| 3.2.4 Μ -拓扑空间上的拟阵与覆盖圈拟阵的关系 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 拟阵融入在粗糙集的一种推广结构 |
| 4.1 粗糙拟阵的相关概念 |
| 4.2 基于等价关系的粗糙拟阵的公理化 |
| 4.3 基于等价关系的粗糙拟阵的性质 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 粗糙集拟阵结构的应用 |
| 5.1 粗糙集的拟阵结构在网络安全的应用 |
| 5.1.1 网络安全的相关概念 |
| 5.1.2 网络系统中的拟阵结构及其应用 |
| 5.2 粗糙集的拟阵结构在传染病的应用 |
| 5.2.1 传染病系统及形式背景的相关概念 |
| 5.2.2 形式背景上的拟阵结构 |
| 5.2.3 拟阵CM在传染病中的应用 |
| 5.3 本章小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文的总结 |
| 6.2 后期工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士期间获得的学术成果 |
（10）粗糙拟阵若干问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 粗糙集及拟阵的研究现状 |
| 1.2.1 粗糙集理论的研究现状 |
| 1.2.2 拟阵论的研究现状 |
| 1.2.3 粗糙拟阵的研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作和组织结构 |
| 1.3.1 本文主要工作 |
| 1.3.2 本文组织结构 |
| 第2章 背景知识 |
| 2.1 粗糙集理论 |
| 2.1.1 二元关系的定义及其性质 |
| 2.1.2 经典粗糙集的基本概念及性质 |
| 2.1.3 广义粗糙集的基本概念及性质 |
| 2.1.4 覆盖粗糙集的基本概念及性质 |
| 2.2 拟阵 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 粗糙拟阵研究概述 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 粗糙集的拟阵结构 |
| 3.2.1 基于对称和传递关系粗糙集的拟阵结构 |
| 3.2.2 覆盖导出的欧拉拟阵 |
| 3.2.3 L ?模糊粗糙集的拟阵结构 |
| 3.3 拟阵连通性研究中的粗糙集方法 |
| 3.4 两类拟阵上的覆盖粗糙集 |
| 3.4.1 欧拉拟阵上的覆盖粗糙集 |
| 3.4.2 覆盖圈拟阵上的覆盖粗糙集 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 基于二元关系的粗糙拟阵 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 基于二元关系粗糙拟阵的定义 |
| 4.3 基于二元关系粗糙拟阵的性质 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 基于覆盖的粗糙拟阵 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 一类量化覆盖粗糙集模型 |
| 5.3 基于覆盖的粗糙拟阵 |
| 5.3.1 基于覆盖粗糙拟阵的定义 |
| 5.3.2 基于覆盖粗糙拟阵的性质 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文的总结 |
| 6.2 后继工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间取得的科研成果 |
四、一般关系下粗糙集上映射的拓扑性质（论文参考文献）
- [1]不完备信息系统的三支决策模型研究[D]. 罗珺方. 西南交通大学, 2020(06)
- [2]偏序集上的范畴对偶和拓扑性质的研究[D]. 袁珍珠. 湖南大学, 2020(08)
- [3]非负矩阵分解与粗糙集若干理论及方法研究[D]. 张晓霞. 华北电力大学(北京), 2018(04)
- [4]模糊覆盖粗糙集及其扩展模型研究[D]. 杨斌. 武汉大学, 2018(06)
- [5]基于二元关系的粗糙诱导拓扑及其性质[D]. 孙小义. 四川师范大学, 2018(01)
- [6]近似内部与近似闭包及相关性质[D]. 李露. 四川师范大学, 2018(01)
- [7]对称传递关系的诱导拓扑及其可数性[J]. 孙小义,张贤勇,李露. 计算机工程与应用, 2018(11)
- [8]基于犹豫模糊环境下的软集与粗糙集理论模型的研究[D]. 张海东. 电子科技大学, 2017(01)
- [9]粗糙集拟阵结构的性质及其应用[D]. 马对霞. 闽南师范大学, 2016(04)
- [10]粗糙拟阵若干问题的研究[D]. 杨斌. 闽南师范大学, 2015(02)